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量子态不可克隆定理不成立的证明
发表时间 2018-03-28 14:29 来源 本站原创

  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不存在 ——  

梅晓春1       李小坚2

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可克隆定理”。本文证明这个定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态都是可以克隆的,证明另一个量子态可克隆的条件为,实际上认为量子态可以克隆,“量子态不可克隆定理”名不符其实。本文进一步证明,存在无穷多的满足这个两个条件,因此“量子态不可克隆定理”应当改为“量子态可克隆定理”。2.表示两个正交的量子态可以克隆,对于的非正交态的情况,现有理论没有讨论,本文详细讨论这种情况。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态可以按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总可以找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可克隆的条件。4. 量子克隆算符对波函数叠加态作用,会导致自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子克隆算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却可以将纯态波函数变换成任意波函数,这样的算符不可能存在。5. 量子态克隆的真正问题不在于理论上是否能够克隆,而在于克隆过程中线性叠加态不可输入和不可输出,这种不可能性与“量子态不可克隆定理”的证明无关。6. 大量实验证明,微观粒子的单量子态都是可以克隆的,说量子态不可克隆毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的都是光子的单个偏振态,它们都是可以克隆的。由此本文的结论是,“量子态不可克隆定理”是一个概念含糊、矛盾重重、完全错误的命题。建立在这个定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不存在。

  关键词 量子力学,量子通讯,克隆算符,量子态不可克隆定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可克隆定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可克隆定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出这个著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现存在许多问题。“量子态不可克隆定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不存在的。

  从“量子态不可克隆定理”的证明过程可以看出,该定理的前提是假定任意量子态都可以克隆。然后给出另外一个量子态可以克隆的条件为,不满足这两个条件的态才是不可克隆的。代表两个态正交,表示两个态不正交,它们都是可以克隆的。因此“量子态不可克隆定理”名不符其实!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的克隆算符定义,对于任意量子态,存在无穷多的满足的条件。对于的情况,现有理论认为它意味着,是一个平庸解,没有讨论价值。本文指出并不一定意味着,并对这种情况进行详细讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都可以表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总可以找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可克隆条件。因此“量子态不可克隆定理”实际上应当改成“量子态不可克隆定理”。

  有些文献又把该定理称为“未知量子态不可克隆定理”,然而对什么是未知的量子态,却没有明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可克隆定理”的说法在字面上就是有问题的,如果一个量子态是未知的,不知道原型和模板,又怎么能够克隆呢?比如对于叠加态,如果已知,这个态就已知。如果任意,这个态就未知。要克隆这个态首先需要知道。这是先决条件,未知态不可克隆的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对克隆算符的定义,即使未知,仍然可以找到无穷多的,使之满足的条件,因此“未知量子态不可克隆定理”的说法也是不成立的。

  将量子克隆算符对波函数叠加态作用,会导致自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子克隆算符的定义是自相矛盾的。将量子态克隆算符作用在任意波函数上,其形式不变。将这个算符作用在一个纯态上,却可以将它变成任意波函数,这样的算符是不存在的。事实上量子克隆算符只是一个抽象符号,没有具体形式。由于其定义是自相矛盾的,在数学上根本不可能找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都需要有它的具体形式。

  事实上,量子态克隆的真正问题不在于理论上是否能够克隆,而在于克隆过程如何输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量导致波函数崩塌。量子态克隆过程首先需要输入量子态,而输入过程也可以看成一种测量操作。因此量子叠加态是不可输入的,因为一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在这种意义上,谈论线性叠加态的克隆是没有意义,但它与“量子态不可克隆定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可克隆定理”显然与事实不符。大量实验证明,微观粒子的单量子态都是可以克隆的。激光器不但能够克隆单个光子,而且能够大批量地克隆各种光子。连续光谱激光器不但可以克隆某种单光子,而且可以通过调整参数,来大量克隆各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就已经是一个相当成熟的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的都是光子的单个偏振态,而不是所谓的线性叠加态,它们都是可以克隆的。然而“量子态不可克隆定理”给人的一般印象却是,任何量子态都不可克隆,这是不真实的。

  实际量子态的克隆涉及相互作用,是一个非常复杂的过程,不是用Wootters定义的这种简单算符就能表示的。“量子态不可克隆定理”是一个概念含糊、矛盾重重、完全错误的命题,不但毫无意义,而且严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  因此本文的结论是,“量子态不可克隆定理”不成立,量子通讯所谓的具有无条件保密性的物理学基础不存在。

  二.“量子态不可克隆定理”的证明

  “量子态不可克隆定理”的证明其实非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待克隆模板的粒子处于任意态,另外一个粒子处于标准的纯态。Wootters和Zurek引入一个克隆量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式如何,Wootters没有说明,只能根据具体的情况确定。与图片复印的过程比较,算符相当于复印机,相当于要复印的图片,相当于白纸。

  采用相同的纯态,将克隆算符对另外一个任意态作用,按照(1)式也有:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有两个解,。如果这两个条件满足,就可以克隆。如果不满足,就不可克隆。现有理论讨论了的情况,对的情况没有讨论,本文重点对的情况进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态可以克隆。即存在一个算符,可以把纯态变成态,然后讨论在什么情况下可以克隆的问题。意味着正交态是可以克隆的,用通俗的语言说,假设有一台量子克隆机,它能够克隆 态,就一定能够克隆与态正交的态,但不能克隆与不正交同时又有的态。

 

  因此按照这种证明,量子态不是不可以克隆,而是有选择性地克隆。对于不同的量子态,需要不同的克隆机,我们可以制造不同的克隆机,来克隆不同的量子态。因此所谓的“量子态不可克隆定理”名不符其实,实际上应当改成“通用量子态克隆机不存在定理”。

  三.“量子态不可克隆定理”不成立的证明

  3. 1 量子态克隆算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,克隆算符对波函数的作用满足以下关系:

这意味着不改变任意波函数,即,但却可以将纯态波函数变成,即意味着是不变算符,即。由于也是任意的,与可以完全不一样,意味着不是不变算符,应当将写为:

由于,就有,因此量子克隆算符的定义自相矛盾,是不可能存在的。

  我们可以举一个具体的例子。假设要克隆氢原子的第一激发态,一个合理的做法就是,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

由于式正交的,按照(2)的定义,是可以克隆的,克隆过程是:

显然不可能找到一个算符,能使 同时成立,因此(8)式不可能成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较复杂。要将一个纯态波函数变成另外一个波函数保持不变,又可以将任意纯态波函数变成态波函数。在这个算符基础上证明“量子态不可克隆定理”是没有意义的。

  3. 2 量子态克隆算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也可能不成立。举一个简单例子,氢原子的跃迁过程满足某些禁戒规则,比如角量子数和磁量子数必须满足。因此从基态到诸如的激发态是不可能的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是可以克隆的。

  事实上,量子态的克隆是一个非常复杂的问题,根本不可能通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的克隆算符的基础上的,所谓的“量子态不可克隆定理”毫无意义。

  3. 2 存在无穷多的可克隆非正交态

  以下证明对于,仍然可以有。按照(4)式,这种非正交态仍然可以克隆。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下两个基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有确定本征值的本征函数存在正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上可以严格证明,任意量子力学定态波函数都可以表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上两个性质,我们来重新讨论“量子态不可克隆定理”的证明。将系统的任意两个波函数写成为:


 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

由于,(13)式变成:

要使(14)式成立,必须:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数可能是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余两个方程,有两个未知数,唯一确定。解方程得。因此对于的情况,对于任意波函数,总可以找到另外一个波函数与它正交。按照Wootters对克隆算符的定义,它们都是可以克隆的。

  对于的情况,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余两个方程,确定三个未知数,就有无穷多种方式。也就是说对于,可以有无穷多个与之正交,因而通用量子态克隆机存在。

  对于不正交,的情况,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的两个方程解得,因此只有才可能。意味着这个态可以克隆,但一台克隆机只能克隆一个量子态。

  对的情况,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的两个方程,确定三个未知数,原则上有无穷多个解。由于它们都能够满足(4)和(16)式,按照定义都是可以克隆的。

  以下举一个具体例子,比如,从第一个式子得到。选取,按照(20)式,可得以下波函数:

这两个波函数是非正交的,但仍然满足可克隆条件,可以用同一台克隆机克隆。

  任意选取的值,可以得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情况下,“量子态不可克隆定理”不成立。我们总可以找到无穷多的,使它们满足可克隆的条件。

  3. 3 克隆算符作用于线性叠加态导致矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是可以克隆的。在(4)式的导出过程中,可以是单态,也可以是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将克隆算符作用其上,可以得到两种结果。第一种是克隆算符先对单个态作用,即:

第二种克隆算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是可以实现的,理由是基矢可以克隆的。(24)式则是不可实现,但没有说明原因。

 

  这种看法虽然有点道理,但没有找到问题的本质。因为按照克隆算符的定义,以上两种计算方法都是合理的。我们不能说哪一种对哪一种错,从逻辑上也可以认为(24)式没有错。事实上,(11)、(21)和(22)式都是叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们都是可以克隆的。

  以下来讨论(24)式不可能成立的原因。可以将(24)式看成克隆算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,能够测量的是波函数的平方,就有:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不可能改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然存在。产生问题的本质原因在于,如前文所述,克隆算符的定义(1)式本身就是矛盾的。这种矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用就是一个例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的克隆问题,需要先了解线性叠加态的真实物理意义。量子力学是一个统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由两个态组成,出现的几率是态出现的几率是。它并不意味着两个态可以同时出现,而是认为在任意时刻只出现其中的一个态。

  比如对于氢原子中的一个电子,它不可能同时即处于基态,又处于第一激发态。这两个状态存在能量差,从基态进入激发态是需要能量输入的。我们不可能同时克隆氢原子的这两个态,只能克隆其中的一个态。在这种意义上,谈论线性叠加态的克隆本身就是没有意义的。

  如果按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的一个态。比如对于叠加态,任何单次测量只能得到其中的一个态,不可能同时得到两个态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  因此量子态克隆真正的问题在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的角度,为了能够克隆一个量子叠加态,首先必须进行测量,以了解这个态的情况。克隆过程需要输入和输出量子态,而输入和输出也可以看成是一种测量。由于测量导致叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不可能的。

  在实际的过程中,量子态的克隆涉及复杂的相互作用,不是用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可克隆定理”存在太多的问题,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上都是可以用克隆的,我们应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有确定本征值的单态都是可克隆的。对量子定态波函数的叠加态,每一次克隆将得到其中的一个单态,多次克隆结果得到态的几率为

  只有这样理解,才能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义克隆算符本身就是自相矛盾的。将克隆算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却可以将变成任意。这种自相矛盾的算符在数学上是不可能存在的,导致“量子态不可克隆定理”成为一个含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对克隆算符的定义,满足的量子态都是可以克隆的。而在实际的过程中,满足这两个条件的量子态却未必能够克隆。因此“量子态不可克隆定理”不存在。

  如果考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总可以找到一个波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了可以找到无数的波函数与它正交外,还可以找到无数个波函数,使它们的积分满足。因此“量子态不可克隆定理”实际上应当称为“量子态可克隆定理”。

  将克隆算符作用到量子叠加态,会导致矛盾的结果。这并不意味着叠加态不可克隆,而是克隆算符的定义本身有问题。量子态克隆的真正问题在于,叠加态的输入和输出是不可能的,这种不可能性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看到中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释问题”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…人们迄今为止并未形成共识。量子力学发展的这种二元状态不仅带来认识论方面的误导,而且依据备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的问题”,物理学家需要“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,避免量子观念的滥用导致的认识论上的问题和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的这个看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是一个科学哲学问题,但现在它已经不是纯理论问题。它已经越界进入技术领域,并且深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都可以看到哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有一个奇怪的说法,即一个量子态在没有被测量之前我们对它什么也不能说。它是处于叠加态,而不是确定态。波尔有句名言:一个现象在没有被观察之前不能说是一个现象。具体地说,对于一个自旋为的粒子,在没有进行测量之前,不能说它的自旋为。因为按照波函数的叠加公式,它或许可能处于态。再比如对于一个水平偏振的光子,在没有被测量之前,我们不能说它是水平偏振的,因为按照波函数的线性叠加公式,它可能是垂直偏振。这种看法与实际完全不符,它可能破坏物理守恒规律,导致荒诞的结果。

  比如甲向乙发射一个自旋为粒子,乙方接受到的一定是一个自旋为的粒子。由于角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不可能改变的。同样,甲向乙发射一个水平偏振的光子,如果乙用水平偏振器测量,这个光子一定会通过,说明这个光子的偏振在运动过程中没有改变。原因是光的偏振方向就是电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不会改变。如果用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。原因是偏振器使光子的电场方向改变,而不是该光子没有确定的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是大量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的两个系统。在任意时刻,量子体系要么处于态,要么处于状态,不可能即处于状态又处于状态,也不可能同时处于态。因此这两种解释是等价的,只是说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的克隆也是没有意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的都是单量子态,不可能是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不可能是叠加态。“量子态不可克隆定理”是一个完全不靠谱的理论,它把克隆过程用一个如此简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程完全不符。在真实的物理学中,要复制一个量子态涉及复杂的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿放进复印机,一按键盘就了事。在这些基本问题没有搞清楚之前,就声称量子态不可克隆。甚至明明知道单量子态和正交态可以克隆,明明知道激光器就是光子克隆机,却仍然声称量子态不可克隆,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量之前微观粒子可以同时处于多重状态,用测量导致波函数崩塌来解释一切。以这种完全错误的理论为基础,技术开发必然导致失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是一个典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯这样重要的事情寄托在这种完全不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则可能是另外一个例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的可能。按照量子力学的统计系综解释,任何时刻一个微观粒子只能处于某个确定的状态,不可能处于叠加态,线性叠加只是一种统计平均的表示方法。按照量子力学的测量理论,任何时刻一个微观粒子可以处于叠加态,但测量导致波函数崩塌。因此叠加态既不能输入也不能输出,量子计算机就可能是一个空头理论上的东西,在现实中难以实现。这个问题类似与量子计算机的消相干问题,但又有不同。从技术上说消相干是可能的,但叠加态的输入和输出是不可能的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称已经做出量子计算机,但是不是真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。他们可能只是利用微观粒子的两个分立状态做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它只是对传统电子计算机的模拟,而不是真正利用了叠加态,能够进行叠加态并行计算的量子计算机。只是量子计算机专家可能还没有认识到这一点,或者说有些人知道这一点,但不愿意说出来罢了。关于这个问题,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,802-803.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,2006年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释问题,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.